An cothromóid an eitleán: conas a dhéanamh? Cineálacha cothromóidí eitleán

Is féidir leis an spás eitleán a shainmhíniú ar bhealaí éagsúla (ponc amháin agus veicteoir, an veicteoir agus an dá phointe, trí phointe, etc.). Is leis sin san áireamh, is féidir leis an chothromóid eitleán Tá cineálacha éagsúla. Chomh maith leis sin faoi choinníollacha áirithe, d'fhéadfadh eitleán a bheith comhthreomhar, ingearach, trasnú, etc. Beidh Ar an agus labhairt san Airteagal seo. Déanfaimid foghlaim a dhéanamh ar an chothromóid ginearálta an eitleáin agus ní hamháin.

An fhoirm gnáth ar an chothromóid

Cuir gurb é R an spás _3, a bhfuil dronuilleogach chomhordú córas XYZ. Táimid shainiú ar α veicteoir, a bheidh scaoileadh ó phointe tosaigh O. Trí dheireadh na α veicteoir a tharraingt eitleán P atá ingearach leis.

In iúl P ag treallach phointe Q = (x, y, z). An veicteoir ga an pointe Q litir comhartha lch. Fad na veicteora ionann α p = IαI agus Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Seo veicteoir aonad, atá dírithe i dtreo mar α veicteoir. α, β agus γ - bíonn na huillinneacha atá déanta idir an veicteoir agus na treoracha dearfacha Ʋ aiseanna spáis x, y, z faoi seach. Is é an réamh-mheastachán ar pointe ar veicteoir QεP Ʋ tairiseach atá cothrom le p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Is é an chothromóid thuas brí nuair p = 0. An n eitleáin amháin sa chás seo bheadh, tras pointe O (α = 0), a bhfuil an tionscnamh, agus Ʋ veicteoir aonad, scaoileadh as an bpointe O bheidh ingearach le P, cé a treo, rud a chiallaíonn go bhfuil an Ʋ veicteoir chinneadh suas go dtí an comhartha. Is chothromóid Roimhe Seo ár n-eitleán P, arna shloinneadh i bhfoirm veicteoir. Ach i bhfianaise a comhordanáidí Is:

Is P níos mó ná nó cothrom le 0. Táimid tar éis a fuair an chothromóid eitleán i bhfoirm gnáth.

An chothromóid ginearálta

Má tá an chothromóid sna comhordanáidí iolrú faoi uimhir ar bith nach bhfuil cothrom le nialas, ní mór dúinn a fháil ar an chothromóid coibhéiseach leis sin a shainmhíníonn an eitleán an-. Beidh sé ar an fhoirm seo a leanas:

Anseo, A, B, C - is é an líon na n-am céanna difriúil ó náid. Tá an chothromóid a dtugtar cothromóid an fhoirm ginearálta an eitleán.

Na cothromóidí na plánaí. cásanna speisialta

Is féidir leis an chothromóid a mhodhnú go ginearálta le coinníollacha breise. Smaoinigh ar roinnt acu.

Glac leis go bhfuil an chomhéifeacht A 0. Léiríonn sé seo go an líne leithid eitleán go dtí an Ox ais réamhshocraithe. Sa chás seo, i bhfoirm cothromóide Athruithe: Wu + CZ + D = 0.

Mar an gcéanna, beidh an bhfoirm chothromóid agus athrú de réir na coinníollacha seo a leanas:

• An gcéad dul síos, más rud é B = 0, ar na hathruithe chothromóid tua + CZ + D = 0, rud a léireodh an parallelism don Oy ais.
• Dara dul síos, más rud é C = 0, tá an chothromóid a chlaochlú i tua + By + D = 0, is é sin le rá faoi comhthreomhar leis an ais réamhshocraithe Oz.
• Sa tríú háit, más rud é D = 0, beidh an chothromóid le feiceáil mar tua + By + CZ = 0, rud a chiallaíonn go dtrasnaíonn an eitleán O (an tionscnaimh).
• Ceathrú, más rud é A = B = 0, ar na hathruithe chothromóid CZ + D = 0, a rachaidh chun sochair a comhthreomhaireacht ocsai.
• Cúigiú, más rud é B = C = 0, beidh an chothromóid tua + D = 0, rud a chiallaíonn go bhfuil an eitleán comhthreomhar le Oyz.
• Sixthly, más rud é A = C = 0, glacann an chothromóid an fhoirm Wu + D = 0, i.e. bheidh, tuarascáil chuig an Oxz comhthreomhaireacht.

Foirm na cothromóide i míreanna

I gcás ina huimhreacha A, B, C, D difriúil ó náid, i bhfoirm chothromóid (0) a bheith mar seo a leanas:

x / a + y / b + z / c = 1,

wherein a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Faighimid mar thoradh cothromóid an eitleáin i bpíosaí. Ba chóir a thabhairt faoi deara go mbeidh an eitleáin Trasnaigh an x-ais ag an bpointe le comhordanáidí (a, 0,0), Oy - (b, 0 0,), agus Oz - (0,0, s).

Mar gheall ar an chothromóid x / a + y / b + z / c = 1, nach bhfuil sé deacair a shamhlú an eitleán socrúcháin i gcoibhneas le córas réamhshocraithe a chomhordú.

Na comhordanáidí an veicteoir gnáth

Tá an veicteoir n gnáth leis an bplána P comhordanáidí go bhfuil na comhéifeachtaí na cothromóide ginearálta an eitleáin, i.e. n (A, B, C).

D'fhonn a chinneadh an comhordanáidí an n gnáth, is leor a fhios ag an chothromóid ginearálta tugtha eitleán.

Agus tú ag úsáid na cothromóide i ndeighleoga, a bhfuil an fhoirm x / a + y / b + z / c = 1, mar nuair a úsáid an chothromóid ghinearálta a comhordanáidí aon veicteoir gnáth scríofa i gcás eitleáin ar leith: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Ba chóir a thabhairt faoi deara go bhfuil an veicteoir gnáth cuidiú a réiteach fadhbanna éagsúla. Na fadhbanna is coitianta ag arb é atá i planes ingearach nó comhthreomhar cruthúnas, an tasc a aimsiú na n-uillinneacha idir na plánaí nó na huillinneacha idir na plánaí agus línte díreacha.

Clóscríobh de réir na cothromóide eitleán agus comhordanáidí an phointe veicteora gnáth

A veicteoir n nonzero, ingearach le plána ar leith, ar a dtugtar gnáth (gnáth) ar eitleáin réamhshocraithe.

Má ghlactar leis go sa spás a chomhordú (a dronuilleogach córas a chomhordú) Oxyz shocrú:

• pointe Mₒ le comhordanáidí (hₒ, uₒ, zₒ);
• náid veicteoir n = A * i + B * j + C * k.

Ní mór duit cothromóid an eitleáin a théann tríd an bpointe Mₒ ingearach leis an n gnáth a dhéanamh.

Sa spás roghnaímid aon phointe treallach agus in iúl M (x, y, z). Lig an veicteoir ga gach pointe M (x, y, z) a bheidh r = x * i + y * j + z * k, agus an veicteoir ga Mₒ phointe (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * + mé uₒ * j + zₒ * k. Beidh an pointe M mbaineann le eitleán ar leith, má tá an MₒM veicteoir bheith ingearach leis an veicteoir n. Scríobh againn an coinníoll de orthogonality ag baint úsáide as an táirge scálach:

[MₒM, n] = 0.

Ós rud é go MₒM = r-rₒ, beidh an chothromóid veicteoir an eitleán breathnú mar seo:

[R - rₒ, n] = 0.

Is féidir an chothromóid freisin cruth eile. Chun na críche sin, na hairíonna an táirge scálach, agus thiontú ar an taobh clé den chothromóid. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Más rud é [rₒ, n] denoted mar s, a fháil againn ar an chothromóid seo a leanas: [r, n] - a = 0 nó [r, n] = s, rud a léiríonn an seasmhacht na réamh-mheastacháin ar an veicteoir gnáth an gha-veicteoirí na pointí tugtha a bhaineann eitleán.

Anois is féidir leat a fháil ar an comhordú a thaifeadadh chineál eitleán ár chothromóid veicteoir [r - rₒ, n] = 0. Ós r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, agus n = A * i + B * j + C * k, ní mór dúinn:

Casadh sé amach go bhfuil muid ar an chothromóid déanta eitleáin ag dul tríd an bpointe ingearach leis an n gnáth:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Clóscríobh de réir na cothromóide eitleán agus comhordanáidí dhá phointe ar an comhlíneach eitleán veicteoir

Táimid shainiú dhá phointe treallach M '(x', y ', z') agus M "(x", y ", z"), chomh maith leis an veicteoir (a ', tá', a ‴).

Anois is féidir linn a scríobh cothromóid réamhshocraithe eitleáin a théann tríd an M pointe atá ann faoi láthair 'agus M ", agus gach pointe leis na comhordanáidí M (x, y, z) comhthreomhar le veicteoir ar leith.

Dá bhrí sin veicteoirí M'M x = {x ', y-y'; zz '} agus M "M = {x" -x', y 'y'; z "-Z '} Ba chóir go mbeadh coplanar leis an veicteoir a = (a ', tá', a ‴), rud a chiallaíonn go (M'M M "M, a) = 0.

Mar sin, beidh ár cothromóid i gcás eitleáin sa spás breathnú mar seo:

An cineál chothromóid eitleán, ag trasnú trí phointe

Ligean le rá tá trí phointe: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), ní gá a bhaineann leis an líne chéanna. Is gá cothromóid an eitleáin a théann trí na trí phointe sonraithe a scríobh. Áitíonn teoiric geoiméadracht nach den chineál seo eitleán ann, tá sé ach amháin agus gan ach. Ós rud é go dtrasnaíonn an plána an bpointe (x ', y', z '), a fhoirm chothromóid bheadh:

Anseo, tá A, B, agus C difriúil ó náid ag an am céanna. Chomh maith leis sin dtrasnaíonn plána tugadh thráth ama faide (x ", y", z ") agus (x ‴, y ‴, z ‴). Ba cheart i ndáil leis sin a chur i gcrích chineál seo coinníollacha:

Anois is féidir linn a chruthú córas aonfhoirmeach de cothromóidí (líneach) le unknowns u, v, w:

In ár gcás x, y nó z Seasann pointe treallach a shásaíonn cothromóid (1). Smaoineamh cothromóid (1) agus córas na cothromóidí (2) agus (3) an córas na cothromóidí atá léirithe san fhigiúr thuas, na shásaíonn veicteoir N (A, B, C) atá nontrivial. Tá sé mar toisc go bhfuil an chinntitheach an chórais nialas.

Cothromóid (1) go againn fuair, is é seo cothromóid an eitleán. 3 pointe téann sí i ndáiríre, agus tá sé éasca a sheiceáil. Chun seo a dhéanamh, ní mór dúinn cur leis an cinntitheach ag na heilimintí sa chéad ró. As na hairíonna atá ann cheana féin cinntitheach a leanas go dtrasnaíonn ár eitleán ag an am céanna na trí phointe réamhchinntithe ar dtús (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Mar sin, shocraigh muid go tasc i díreach os ár gcomhair.

uillinn dhéhéidreach idir na plánaí

Is uillinn dhéhéidreach cruth geoiméadrach spásúil déanta dhá leath-planes a eascraíonn as líne dhíreach. I bhfocail eile, mar chuid den spás atá teoranta do na leath-planes.

Cuir tá dhá eitleán leis na cothromóidí seo a leanas:

Tá a fhios againn go bhfuil an veicteoir N = (A, B, C) agus N¹ = (A¹, H¹, S¹) de réir eitleáin réamhshocraithe atá ingearach. I dtaca leis seo, an uillinn φ idir veicteoirí N agus N¹ uillinn chomhionann (dhéhéidreach), atá suite idir na plánaí. Is é an táirge scálach a ríomh:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

beacht mar gheall

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Tá sé go leor a mheas go bhfuil 0≤φ≤π.

I ndáiríre dhá planes a chéile, foirm dhá uillinn (dhéhéidreach): φ ₁ agus φ _2. Is é an suim is ionann agus π (φ ₁ + φ ₂ = π). Mar do comhshínis, go bhfuil a gcuid luachanna uimhriúla chomhionann, ach tá siad comharthaí éagsúla, is é sin, cos φ ₁ = -cos φ _2. Más rud é sa chothromóid (0) cuirtear an méid seo A, B agus C de -A, B agus -C faoi seach, an chothromóid, mór dúinn a fháil, cinnfidh an phlána céanna, an uillinn amháin φ i cos cothromóid φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Beidh sé in ionad π-φ.

Cothromóid an bplána atá ingearach

Glaoite ingearach eitleán, idir a bhfuil an uillinn 90 céim. Ag baint úsáide as an t-ábhar i láthair thuas, is féidir linn a faigh cothromóid bplána atá ingearach leis an gceann eile. Is dócha tá dhá planes: tua + By + CZ + D = 0, agus + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Is féidir linn a rá go bhfuil siad orthogonal má cos = 0. Ciallaíonn sé seo go bhfuil NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

An cothromóid i gcás eitleáin comhthreomhar

Thagair sé do dhá phlána comhthreomhar ina bhfuil aon phointí i bpáirt.

An coinníoll na plánaí comhthreomhar is (go bhfuil a gcuid cothromóidí mar atá san alt roimhe seo mar an gcéanna) go bhfuil na veicteoirí N agus N¹, atá ingearach leis leo, comhlíneach. Ciallaíonn sé seo go bhfuil na coinníollacha seo a leanas na comhréireachta:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Má tá na téarmaí comhréireach leathnaithe - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

léiríonn sé go phlána sonraí ar an gcéanna. Ciallaíonn sé seo go bhfuil chothromóid ax + by + CZ + D = 0 agus + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 déan cur síos ar eitleán amháin.

An fad ó phointe go eitleán

Cuir ní mór dúinn a P eitleán, atá tugtha ag (0). Is gá chun teacht ar an achar ón bpointe le comhordanáidí (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Ní mór duit a thabhairt ar an chothromóid sa phlána II dealramh a dhéanamh:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Sa chás seo, tá ρ (x, y, z) an veicteoir ga dár phointe Q, atá lonnaithe ar n p - n tá an fad an ingir, a eisíodh ón bpointe náid, v - is é an t-aonadveicteoir, atá socraithe sa treo a.

An difríocht ρ-ρº veicteoir ga phointe Q = (x, y, z), a bhaineann le n agus an veicteoir ga phointe tugtha Q ₀ = (, uₒ, zₒ hₒ) den sórt sin veicteoir, an luach glan de na réamh-mheastachán a bhfuil ar v ionann an t-achar d, is gá a fháil ó Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) go P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ach

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Mar sin, casadh sé amach,

d = | (ρ ^0, v) lch |.

Anois, tá sé soiléir go bhfuil a ríomh an fad d ó ₀ go Q eitleán P, tá sé riachtanach a bhaint as gnáth chothromóid amharc eitleán, an t-athrú ar an taobh clé de p, agus an áit dheireanach x, y, z ionad (hₒ, uₒ, zₒ).

Dá bhrí sin, feicimid an luach glan de na abairt mar thoradh air atá ag teastáil d.

Ag baint úsáide as na paraiméadair na teanga, a fháil againn ar an soiléir:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Má tá an pointe Q sonraithe ₀ ar an taobh eile den eitleáin P mar an tionscnaimh, ansin idir an veicteoir is ρ-ρ ⁰ agus v uillinn maoluillinneacha, dá bhrí sin:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

I gcás nuair a bheidh an pointe Q ₀ i gcomhar leis an tionscnamh suite ar an taobh céanna den U, tá an uillinn géarmhíochaine a cruthaíodh, is é sin:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Is é an toradh go bhfuil sa chéad chás (ρ ^0, v)> p, sa dara (ρ ^0, v)

Agus a chothromóid eitleán tadhlaí

Maidir leis an eitleán go dtí an dromchla ag an bpointe Mº tangency - eitleán ina bhfuil gach tadhlaí is féidir leis an cuar tharraingt trí bpointe ar an dromchla.

Leis an fhoirm dromchla an chothromóid F (x, y, z) = 0 sa chothromóid an pointe tadhlaí eitleáin tadhlaí Mº (hº, uº, zº) bheadh:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (y uº) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Má tá an dromchla leagtha go follasach z = f (x, y), ansin cur síos ar an eitleán tadhlaí ag an chothromóid:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

An áit a dtrasnaíonn dhá phlána

I spás tríthoiseach córas a chomhordú (dronuilleogach) Oxyz, mar gheall ar dhá planes P 'agus P' go forluí agus nach ag an am céanna. Ós rud é aon eitleán, atá i dronuilleogach chóras chomhordú arna sainiú ag an chothromóid ginearálta, glacadh leis go n 'agus n "Sainmhínítear leis na cothromóidí A'x + V'u S'z + + D' = 0 agus A" + B x '+ y le "z + D" = 0. Sa chás seo ní mór dúinn n gnáth '(A', B ', C') ar an eitleán P "agus n gnáth" (A ", B", C ") ar an eitleán P '. Ós rud é nach bhfuil ar ár eitleán comhthreomhar agus nach comhthráthach, ansin nach bhfuil na veicteoirí comhlíneacha. Ag baint úsáide as an teanga na matamaitice, ní mór dúinn gur féidir an coinníoll seo a scríobh mar: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Agus", λ * I ", λ * C"), λεR. Lig an líne dhíreach atá suite ag crosbhealach P 'agus P "Beidh, a chur in iúl ag an litir a, sa chás a = P' ∩ P".

agus - ar líne comhdhéanta de iolrachas na pointí (coiteann) planes P 'agus P ". Ciallaíonn sé seo go bhfuil na comhordanáidí aon phointe ar leis an líne a ní mór, a shásamh ag an am céanna an chothromóid A'x + V'u S'z + + D '= 0 agus A "x + B' + C y" z + D "= 0. Ciallaíonn sin go mbeidh na comhordanáidí an phointe a bheith ina réiteach ar leith de na cothromóidí seo a leanas:

Is é an toradh go mbeidh an réiteach (foriomlána) den córas cothromóidí a chinneadh na comhordanáidí gach ceann de na pointí ar an líne a fheidhmeoidh mar phointe trasnaithe P 'agus P ", agus cinneadh a dhéanamh ar líne i gcóras chomhordú Oxyz (dronuilleogach) spás.