Suim na n-uillinneacha i dtriantán. An teoirim maidir le suim na n-uillinneacha i dtriantán

Is é an triantán polagán bhfuil thrí thaobh (trí uillinn). Is minic, an chuid sonraithe leis litreacha beaga ceannlitreacha, a léiríonn rinn os coinne comhfhreagrach. San Airteagal seo a chur orainn le breathnú ar na cineálacha de chruthanna céimseatan, teoirim, a shainmhíníonn an méid is comhionann leis an suim na n-uillinneacha i dtriantán.

Cineálacha uillinneacha mó

Na cineálacha seo a leanas na polagán le trí reanna:

• géarmhíochaine-dronuilleach, ina bhfuil na huillinneacha géar;
• dronuilleogach a bhfuil dronuillinn amháin, an taobh a bheidh á fhoirmiú, a tharchur chuig an cosa, agus tá an taobh a dhéantar a dhiúscairt os coinne na dronuillinne ar a dtugtar an taobhagán;
• maoluillinneacha nuair amháin Is maoluillinn ;
• comhchosach, a bhfuil a dhá shlios chothroma, agus tá siad ar a dtugtar cliathánach, agus an tríú - triantán le bonn;
• comhshleasach a bhfuil trí shlios chothroma.

airíonna

Leithdháil na hairíonna bunúsacha a bhaineann le gach cineál triantáin:

• os coinne go bhfuil an taobh is mó uillinn i gcónaí níos mó, agus vice versa;
• Tá uillinn ar cóimhéid os comhair an cóimhéid-is mó páirtí, agus a mhalairt;
• i dtriantán Tá dhá ghéaruillinn;
• uillinn seachtrach níos mó ná aon uillinn inmheánach nach bhfuil in aice a ghabhann leis;
• Is suim ar bith dá uillinn i gcónaí níos lú ná 180 céim ar chéim;
• cothrom le uillinn sheachtrach an suim an dá coirnéil eile, nach bhfuil mezhuyut leis.

An teoirim maidir le suim na n-uillinneacha i dtriantán

Deir an teoirim go má tá tú ag cuir suas go léir na cearn den chruth geoiméadrach, atá suite i bplána Eoiclídeach, ansin beidh a gcuid suime a 180 céim. A ligean ar iarracht a chruthú teoirim.

Lig ní mór dúinn triantán treallach arb iad KMN. Ar fud mbeidh barr M shealbhú comhthreomhar díreach chuig an líne KN (tá sé fiú an líne seo ar a dtugtar Euclid). Ba chóir a thabhairt faoi deara pointe A ionas go mbeidh na pointí K agus A eagraithe ó thaobh éagsúla den líne MN. Faighimid an uillinn céanna AMS agus MUF, a, cosúil leis an taobh istigh, bréag crosswise a fhoirmiú trasnú MN i gcomhar le AC díreach agus MA, atá comhthreomhar. Ón seo, leanann sé go bhfuil suim na n-uillinneacha an triantáin, atá lonnaithe ar na reanna M agus N comhionann leis an méid na huillinne CMA. Gach dtrí uillinn éard suim is comhionann le suim na n-uillinneacha de KMA agus MCS. Ó tharla go bhfuil na sonraí uillinneacha inmheánacha coibhneasta línte comhthreomhara Thaobh CL agus CM MA ag trasnú, tá a n-suim 180 céim. Cruthaíonn sé seo an teoirim.

toradh

As an méid sin thuas an teoirim thuas le tuiscint ar an atoradh leanas: tá gach triantán dhá ghéaruillinn. Leis sin a chruthú, in iúl dúinn glacadh leis go bhfuil an figiúr geoiméadrach ach amháin géaruillinn. Is féidir leat glacadh leis freisin nach bhfuil aon cheann de na coirnéil géar. Sa chás seo caithfidh sé a bheith ar a laghad dá uillinn, an méid atá cothrom le nó níos mó ná 90 céim. Ach is é sin an suim na n-uillinneacha níos mó ná 180 céim. Ach ní féidir é seo a, toisc, de réir na n-uillinneacha suim teoirim de thriantán is ionann agus 180 ° - nach bhfuil níos mó, nach lú. Sin an méid a bhí acu go a chruthú.

coirnéil Maoin lasmuigh

Cad é suim na n-uillinneacha i dtriantán, atá seachtracha? Is féidir leis an freagra don cheist seo a fháil trí cheann de dhá bhealach. Is é an chéad gur gá duit a fháil ar an suim na n-uillinneacha, a ghlactar amháin ag gach rinn, is é sin, trí uillinn. Ciallaíonn an dara gur gá duit a fháil ar an suim na n-uillinneacha sé ag na reanna. Chun déileáil leis an tús na chéad embodiment. Dá bhrí sin, tá an triantán sé choirnéal seachtrach - ag barr gach ceann den dá. Tá gach péire uillinneacha comhionanna lena chéile, ós rud é gur ingearach:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Lena chois sin, tá sé ar eolas gur ionann an choirnéal seachtrach na thriantán cothrom le suim an dá taobh istigh, nach bhfuil mezhuyutsya leis. dá bhrí sin,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Ón seo is léir go mbeidh suim na n-uillinneacha taobh amuigh, a ghlactar ceann ar cheann in aice gach rinn a bheith comhionann le:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Mar gheall ar an bhfíric gur ionann suim na n-uillinneacha 180 céim, is féidir a rá go ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Ciallaíonn sé seo go bhfuil ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Má tá an dara rogha a úsáidtear, beidh suim na sé uillinn a bheith níos mó dá dhó. Ie suim na n-uillinneacha i dtriantán bheidh taobh amuigh a bheith:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triantán dronuilleach

Cad é cothrom le suim na n-uillinneacha i dtriantán ceart, an t-oileán? Is é an freagra, arís, ó Teoirim, a deir go bhfuil na huillinneacha i dtriantán chur suas go dtí 180 céim. Tá fuaim ar ár dearbhú (maoin) mar seo a leanas: i dtriantán ceart uillinneacha géar chur suas go dtí 90 céim. Cruthaíonn muid a fírinne. Bíodh triantáin ar leith KMN, a ∟N = 90 °. Is gá a chruthú gur ∟K ∟M = + 90 °.

Dá bhrí sin, de réir an teoirim maidir le suim na n-uillinneacha ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Sa an coinníoll seo tá sé sin go = ∟N 90 °. Casadh sé amach ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Is é sin ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Sin an méid ba chóir dúinn a chruthú.

Chomh maith leis na hairíonna thuas de thriantán ceart, is féidir leat a chur ar na:

• uillinneacha, a dhéanamh in aghaidh na cosa atá géar;
• an taobhagán an triantánach mó ná aon cheann de na cosa;
• suim na cosa níos mó ná an taobhagán;
• cos an triantáin, atá suite os coinne an uillinn 30 céim, leath an taobhagáin, is é sin comhionann lena leath.

Mar maoin eile an cruth geoiméadrach a idirdhealú teoirim Pythagorean. Áitíonn sí gur i dtriantán le uillinn 90 céim (dronuilleogach), suim na gcearnóg ar an cosa ionann an chearnóg an taobhagáin.

Tuairiscíodh suim na n-uillinneacha i dtriantán comhchosach

Níos luaithe dúirt muid go bhfuil triantán comhchosach polagán le trí rinn, ina bhfuil dhá shlios chothroma. Tá an mhaoin ar a dtugtar figiúr geometrical: na huillinneacha ar a bhonn comhionann. Lig dúinn a chruthú.

Tóg an triantán KMN, atá comhchosach, SC - a bhonn. Táimid ag teastáil a chruthú go ∟K = ∟N. Mar sin, a ligean dúinn glacadh leis go MA - is é KMN déroinnteoir ár triantáin. Is ICA triantáin leis an chéad chomhartha an chomhionannais triantáin MNA. Eadhon, le hipitéis ós rud é go bhfuil CM = NM, MA taobh coiteann, ∟1 = ∟2, mar gheall ar MA - an déroinnteoir. Ag baint úsáide as an comhionannas an dá thriantán, d'fhéadfadh duine a mhaíomh go ∟K = ∟N. Dá réir sin, tá an teoirim cruthaithe.

Ach tá suim againn, cad é suim na n-uillinneacha i dtriantán (comhchosach). Mar gheall ar i ndáil leis seo nach bhfuil na gnéithe, beidh muid ag tosú as an teoirim a pléadh cheana. Is é sin, is féidir linn a rá go ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, nó 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (mar ∟K = ∟N). Ní bheidh sé seo a chruthú ar an maoin, mar a bhí cruthaithe an teoirim maidir le suim na n-uillinneacha i dtriantán roimhe.

Ach amháin na hairíonna a mheas de na coirnéil triantáin, tá ráitis tábhachtacha den sórt sin ann freisin:

• i airde triantán comhshleasach, a bhí ísliú ar an mbonn go bhfuil, ag an am céanna ar an déroinnteoir airmheán na huillinne atá idir na sleasa cothroma agus an ais siméadrachta a bhonn;
• airmheán (dhéroinnteoir, airde), atá i seilbh leis an taobh den figiúr geoiméadrach, cothrom.

triantán comhshleasach

Sé ar a dtugtar freisin an ceart é, an triantán, atá comhionann leis na páirtithe go léir. Agus da réir sin is ionann agus uillinneacha. Tá gach ceann acu 60 céim. Lig dúinn a chruthú ar an maoin.

Lig dúinn glacadh leis go bhfuil muid triantán KMN. Tá a fhios againn go bhfuil KM = HM = KH. Ciallaíonn sé sin, i gcomhréir leis an maoin na n-uillinneacha suite ag bun i dtriantán comhshleasach ∟K = ∟M = ∟N. Ós rud é, de réir an suim na n-uillinneacha de teoirim triantáin ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ansin x 3 = 180 ° ∟K nó ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Dá bhrí sin, tá an dearbhú cruthaithe. Mar a fheictear ón bhfianaise thuas atá bunaithe ar an teoirim thuas, suim na n-uillinneacha i dtriantán comhshleasach, is mar shuim na n-uillinneacha ar dtriantán eile 180 céim. Arís chruthaíonn an teoirim is gá.

Tá fós roinnt airí shainiúla triantán comhshleasach:

• Tá airde airmheán déroinnteoir i figiúr geometrical comhionann, agus a gcuid fad arna ríomh mar (a x √3): 2;
• más rud é seo polagán chúngú den chiorcal, cruthaigh beidh an ga a bheith comhionann le (a x √3): 3;
• má inscríofa i dtriantán comhshleasach ciorcal, bheadh a gha a (a x √3): 6;
• Tá réimse an figiúr geoiméadrach ríomh de réir na foirmle: (a2 x √3): 4.

triantán maoluillinneacha

De réir sainmhíniú, , triantán maoluillinneacha dronuilleach ar cheann de na coirnéil idir 90 go 180 céim. Ach mar gheall ar an bhfíric go bhfuil an dá uillinn eile den chruth geoiméadrach géar, is féidir a rá nach bhfuil siad níos mó ná 90 céim. Dá bhrí sin, suim na n-uillinneacha de teoirim triantáin oibríonn i suim na n-uillinneacha a ríomh i dtriantán maoluillinneacha. Mar sin, is féidir linn a rá go sábháilte, bunaithe ar an teoirim thuas go bhfuil suim na n-uillinneacha maoluillinneacha i dtriantán 180 céim. Arís, ní dhéanann an teoirim gá a ath-cruthúnais.